일관된 가격 책정 옵션

일관성있는 외환 옵션 가격 1 외환 옵션의 일관된 가격 결정 Antonio Castagna Fabio Mercurio Banca IMI, Milan 현재 시장에서 파업이나 만기가 다른 옵션은 일반적으로 다른 내재 변동성으로 가격이 책정됩니다. 일반적으로 스마일 효과라고하는이 양식화 된 사실 , 외래 파생 상품의 가격 결정 또는 비공개 파업이나 만기에 대한 묵시적 변동성의 추론을위한 특정 모델에 의지하여 수용 할 수있다. 이전 업무는 일반적으로 기본 자산 가격에 대한 대안 역학을 도입함으로써 달성되는 반면, 후자는 종종 통계적 조정 또는 보간법이 기사에서 우리는이 후자의 문제를 다루고 외환 FX 옵션 시장에서 가능한 솔루션을 분석합니다. 그러한 시장에서 실제로 각 시장 성숙도에 대해 세 가지 활성 지수가 있습니다. 반전 및 베가 가중 나비를 사용하여 일관된 결정의 문제를 제시했습니다. 다른 외환 변동성의 적용 FX 중개인과 시장 제작자는 일반적으로 Vanna-Volga VV라는 경험적 절차를 사용하여 특정 성숙도에 대한 전체 미소를 구성함으로써이 문제를 해결합니다. 다음은 옵션의 관점에서 변동성 지수를 제공합니다. 5 통화에서 5 통화까지의 범위 다음에서 우리는 주어진 통화에 대해이 시장 절차를 검토 할 것입니다. 특히, 보다 명확한 구조로 렌더링하기 위해 비공식 공식을 유도합니다. 그런 다음 정적 결과적으로 미소 짓는 감각, 즉 파업과 변동성의 3 가지 초기 쌍이 일관되게 변하는 것은 궁극적으로 동일한 내포 된 변동성 곡선을 생성한다는 점에서 유럽 스타일 주장에 적용된 동일한 절차가 정적 복제 결과와 일치한다는 것을 보여줍니다. , 양적으로 유럽의 옵션의 실용적인 사례 우리는 마침내 시장 절차가 역 동성 용어로 정당화 될 수 있음을 증명할 것이다. 자체적으로 재원을 복제하는 전략 2 FX 옵션 시장에 대한 간략한 설명 FX 옵션 시장에서 변동성 행렬은 끈적 끈적한 델타 규칙에 따라 작성됩니다. 기본 가정은 옵션이 델타에 따라 가격이 책정되므로 기초 자산 가격이 움직이고 이에 따라 옵션의 델타가 변경되면 다른 내재 변동성이 가격 결정 공식에 연결되어야한다. 1.2 FX 옵션 시장은 유동성이 높고, 상대적으로 긴 일자 만기까지 2 년, 적어도 EUR 달러 환율 ATM의 변동성은 쉽게 이용 가능하며 통화 및 Put에 대한 위험 역전 RR과 25 개의 날개를 가진 베가 가중 나비 VWB도 일반적으로 거래됩니다. 1이 데이터를 통해 세 가지 기본 암시를 쉽게 추론 할 수 있습니다 우리가 아래에서 개략적으로 설명 할 방법에 따라 5에서 5 통화로 실행되는 범위에 대해 전체 미소를 만들 수 있습니다. 우리는 주어진 교환의 가치를 S t로 나타냅니다 이자율은 시간 t에서 이자율과 국내외 무위험 이자율을 각각 rd와 rf로 나타낼 때 가정한다. 우리는 시장 성숙도 T를 고려하여 다음과 같은 관련 지수를 정의한다. 외환 시장에서 인용 된 ATM 변동성은 풋과 콜이 똑같지 만 다른 표식을 지니도록 파업을하는 스 트래들 (straddle) AT M이 만기 T에 대한 ATM 변동성, ATM 공격 K AT M은 다음을 만족해야만한다. S e rf TK AT M rdrf 2 AT MT e rf T SK SK M Rdrf 2 MT MT AT MT 여기서 누적 표준 정규 분포 함수는 직선 대수가 K AT MS e rd rf 2 AT MT 1 RR은 통화를 구매하고 대칭을 사용하여 풋을 판매하는 전형적인 구조입니다. RR은 두 가지 묵시적 변동성의 차이로 인용되며, 25 c와 25 p는 Black 및 Scholes 공식에 연결됩니다. 전화와 풋 각각 Denotin g 휘발성 조건의 그런 가격, RR에 의해, 우리는 2 RR 25 c 25 p 2 VWB는 ATM straddle을 판매하고 25 strangle을 구입함으로써 구축된다. Vega 가중치가되기 위해서는 그 수량이 걸음마의 베가가 목 졸림의 베가보다 크기 때문에 후자의 양보다 작습니다. 나비의 변동 가격 VWB는 VWB 25 c 25 p 2 AT M 3에 의해 정의됩니다. 주어진 만료 기간 T , 2 개의 내재 변동성 25 c와 25 p는 선형 시스템을 푸는 것으로 즉각적으로 식별 될 수있다. 우리는 25 c AT MVWB RR 4 1을 얻는다. 우리는 시장 전문 용어에 따라의 부호 다음에 부호를 드롭한다. 델타가 25와 비슷하다면, 델타가 A 인 긍정적 인 RR은 25가된다. RR은 묵시적 ​​변동성이 풋의 내재 변동성보다 높다는 점에서 통화가 선호된다는 것을 의미한다. 반대의 경우를 의미한다. 1 2 RR 5 25 풋과 25 콜에 해당하는 2 회의 스트라이크가 도출 될 수있다. 그들의 직접적인 정의를 기억함으로써 직접적인 대수학을 구할 수있다. 예를 들어, 25의 경우에 우리는 즉각적인 결과를 가져야 만한다. T 6 여기서 1 1 4 erf T와 1은 역 정규 분포 함수이다. 우리는 전형적인 시장 변수와 2 년까지의 만기에 대해, 다음 섹션에서는 기본 묵시적 변동성 및 관련 파업을 사용하여 주어진 만기 동안 전체 미소를 일관되게 추론하는 방법을 설명합니다. 이 목적을 위해 우리는 동일한 유형의 옵션 (예 : 통화, 변동성 대신 시장 가격을 직접 고려) 표기법을 단순화하고 미래의 공식을 간소화하기 위해 주어진 성숙도 T에 대한 인용 된 파업을 K i, i 1, 2, 3, K 3, 4로 표시합니다. K를 설정한다. C MKT, C MKT 및 C MKT K 3으로 각각 표시된 관련 시장 옵션 가격은 엉덩이이다 VV 경험적 시장 절차 만기 T와 파업 K를 가진 유럽 통화 옵션을 고려해 보라. 시간 t에서 Black과 Scholes의 가격은 C BS t K, I n S t C BS 여기서, T t는 주어진 변동성 파라미터이다. Black-Scholes 1973 BS 모델 하에서, 콜 페이 오프는 다음과 같이 할 수있다. 은행 계정 부분의 포괄 가치가 옵션 가격과 일치하는 역동적 인 전략으로 복제 될 수 있습니다. 8 실제 금융 시장에서는 변동성 3 장기 만기의 경우 ATM 공격으로 선 환율을 고려하는 것이 좋습니다 4, K 3은 각각 5 p, K AT M을 대체하고 3.4 c는 확률 적이며 거래자는 베가 중립 포트폴리오를 구축하여 관련 위험을 회피한다. 외환 옵션 시장의 특정 성격을 감안할 때 포트폴리오는 두 번째 순서까지의 부분 파생물. 따라서, b 우리는 극소의 시간 간격으로 완전한 헤지 (hedge)를 가지고있다. 아래의 9 절을 또한 참조한다. 경험적 절차는 만기 T와 파업 K로 위 호출에 대한 헤지 포트폴리오를 도출하는 것에 기반한다. 성숙 T와 파업을 가진 유럽 통화의 결과 포트폴리오가 각각 만기 T와 파업 K의 통화 변동을 헤지하기 위해 t 가중치 x 1 t K, x 2 t K, 기초와 변동성에서 두 번째 질서까지 - 확정 된 입장을 가정하고, BS 세계에서 베가 중립적 인 동일한 성숙도를 가진 평범한 바닐라 선택의 포트폴리오도 또한 감마 중립적이며, 가중치 x 1 t K , x 2 t K와 x 3 t K는 복제 된 포트폴리오가 스트라이크 K, 즉 C BS t K 2 C BS t K 2 2 C BS와 동일한 Vega, dvegadvol volga 및 dvegadspot vanna를 갖는다는 것을 부과함으로써 발견 될 수있다 S tt K BS C tit K t K ixit K 2 C BS 2 t K ixit K 2 C BS S tt K i 9 V t K로 표시 성숙 T와 파업 K를 갖는 유럽 옵션의 시간 t 베가는 다음과 같이 계산된다. (1) (1) (2) (2) 2 차 미분 우리는 다음과 같은 것을 증명할 수있다. 2 C BS V t K t K d 2 1 t K d 2 t K 2 C BS V t K t t S dd 2 t K d 2 t K d 1 t K 4.5 명제 3 1 시스템 9는 항상 다음과 같이 주어진 유일한 해를 인정한다. x 1 t K x 2 t K x 3 t KV t K ln KKV t ln V t KV t V t KV t K 3 ln KK ll K ln K 11 특히 KK j가 ij에 대해 K 1을, 그렇지 않으면 0으로 증명한다면 부록 4를 참조하십시오. 결과 옵션 가격 이제 기본 옵션의 시장 가격과 일치하는 옵션 가격의 정의로 진행할 수 있습니다. 파업 통화로 인한 통화 가격은 위에서 언급 한 위험 회피 전략을 시행하는 비용을 BS 가격에 가산하여 얻어진다. 식에서, t, CKC BSKi KCMKTKiCBSKi12 여기서, 표기법, v에 대한 의존성 0 이후의 시간 t는 이후 생략된다. 새로운 옵션 가격은 평평한 미소 BS 가격에 일정한 변동성에 대한 시장 내재 변동성으로 인한 헤지 포트폴리오의 비용 차이를 더함으로써 정의된다. 옵션에 대한 견고성 및 일관성 결과 가격 12는 아래에 제공됩니다. KK j가 분명히 CK j C MKT K j를가집니다. 왜냐하면 x i K i는 ij이고 0은 그렇지 않기 때문입니다. 따라서 12는 세 가지 옵션 인용 부호 C MKT에서 가격을 보간하거나 외삽하는 규칙 만 정의합니다. 시장의 묵시적인 변동성 곡선은 BS의 공식을 통해 고려 된 각각의 K에 대해 12를 반전함으로써 구성 될 수있다. 이러한 곡선의 예가 그림 1에 제시되어 있는데, 여기서 파업과 우리는 다음과 같은 EUR USD 데이터를 사용합니다 : 7 월 1 일 T 3m 94 365y, S 1 25, AT M 9 5, RR 5, VWB 13, 25 c 8 93, 5 c 9 5, 25 p 9 43, K ATM 5 p 및 5 c 참조 탭 les 1 and 2 5이 가격은 변동성 변수에 따라 달라진다. 실제적으로 전형적인 선택은 AT M 5.6 Volatility Strike Put delta를 설정하는 것이다. 그림 1 EUR 3 암시 적 휘발성은 파업과 델타에 대해 플롯되어있다. 여기서 세 가지 시장 기본 견적이 강조 표시되어있다. 옵션 가격 인 CK는 파업 K의 함수로서 다음과 같은 조건을 만족한다. KCKS e rf T와 lim KCK iii lim dc KK dk e rdt and lim KK dc K dk 두 번째와 세 번째 속성, 각각의 i에 대해 Ki 또는 Ki가 K 또는 K에 대해 0이된다는 사실로부터 따라서, 차익 기회를 피하기 위해 옵션 가격 CK는 파업 K, 즉 각 K에 대해 2 C d K 일반적으로 사실이 아닌이 자산은 전형적인 시장 매개 변수에 대해서만 유효하기 때문에 실제로 12는 실제로 차익 거래가없는 가격으로 이어집니다. 5 암묵적 휘발성 옵션의 위 정의 가격은 가중치에 대한 우리의 분석식 11과 결합하여 11에 관련된 내재 변동성에 대한 직접적인 근사를 유도 할 수있다. 이는 다음의 방정식 5에 설명되어있다. 1 위의 옵션의 가격 CK에 대한 내재 변동성 k는 대략 주어진다. K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K 60 implied volatility와 근사값은 파업과 Deltas Proof에 대해 플롯되어있다. 부록 참조 묵시적 변동성 k는 지루하고 그러나 직선적 인 대수로 보여지는 결합 자 yi K와 함께 기본 변동성의 선형 조합으로 근사화 될 수있다. 또한 근사가 ln K의 2 차 함수라는 것을 쉽게 알 수 있으므로 로그 좌표가 다음과 같은 간단한 파라볼 릭 보간에 의존 할 수있다. used 근사치 13의 장점을 그림으로 표현한 그림 2는 그림 1과 같은 EUR USD 데이터를 사용하는 것입니다. 근사치 13은 간격 내에서 매우 정확합니다. K 3 그러나 날개는 과대 평가되는 경향이 있습니다 사실, logstrike에서 이차 함수 형태가됨에 따라, 이 24가 implied volatility의 점근 적 가치에 대해 유도 한 무차별 조건은 여기 위반되었다. 이 단점은 극단적 인 점에서 점근 적으로 일정한 두 번째, 파업 명제 5 2 묵시적인 변동성 k는 다음과 같이 더 잘 근사 될 수있다. 여기서 k 2 K 2 d 1 K d 2 K 2 D 1 KD 2 K d 1 K d 2 KD 1 K ln KK ln 25 K ln ATM ln K ln K 25 c 1 KD 2 K ln KK ln d 1 d 2 25 p 2 l K ln K ln K d 1 K 3 d 2 K 3 25 c 2 7, 14 K d ln 1 d 2 ATM 2.8 115 진정한 미소 근사치 115 진정한 미소 근사치 스트라이크 Put Deltas 그림 3 스트리밍과의 격차에 대한 USD USD 묵시적 변동성 및 그 근사치 dt x d 1 x T, x T 증명 부록을 보라. 그림 3에서 알 수 있듯이 근사치 14는 날개에서도 매우 정확하다. 단점은 그러나 평방근 항의 존재로 인해 정의되지 않을 수도있다. 그러나 가장 실질적인 적용에서 양의 값을 갖는다. 6 가격에 대한 첫 번째 일관성 결과 CK 이제 옵션 가격 11과 위의 경험적 절차에 대한 추가 지원 첫 번째 결과는 다음과 같습니다. 우리가 곡선을 작성하는 방법을 적용 할 때 세 가지 다른 파업에서 시작하면 관련 가격이 수식 12에서 나온 값과 일치 할 때 어떤 일이 발생하는지 궁금해 할 수 있습니다. 우리는 두 개의 곡선이 정확하게 일치하기를 원할 것이다. 사실, 새로운 파업 세트 H를 고려하고 초기 파업 세트에 대한 의존성을 강조하기 위해 xi K에 의한 이전의 가중치 xi K를 나타낼 수있다. xi KH wi ll은 새로운 파업에서 파생 된 파업 K에 대한 가중치를 나타낸다. H 각 i에 대한 옵션 가격은 가정에 의해 12에서 오는 옵션 가격과 같다. 즉, CHH i CKH i C BSH ixi H i KCK j C BS K j 15 j 1 8.9 여기서 위 첨자 H와 K는 가격 결정 절차가 기반한 파업의 집합을 강조한다. 일반 파업 K의 경우, H와 관련된 옵션 가격은 CHKC에 의해 12와 유사하게 정의된다. J C BS H jj 1 명제 6 1 H에 기반한 콜 가격은 K에 기반한 콜 가격과 일치한다. 즉, 각 파업에 대해 K, CHKCKK 16 증거 부록 7 참조 가격에 대한 두 번째 일관성 결과 CKA의 두 번째 일관성 결과 옵션 가격에 대해 입증 된 11 유럽 스타일의 파생 상품과 그 정적 복제의 가격 결정에 관련이있다. 여기서 h는에 정의 된 실제 함수이고 무한대에서 잘 작동하며 분배의 관점에서 두 번 분화가 가능하다고 가정한다. ti에서 payoff hs T를 가진 간단한 주장 우리 T는 미소 효과를 고려할 때 시간에 그 가격을 V로 표시한다. Carr and Madan 1998 년에 우리는 Ve rdt h S e rf T hhxcx dx를 내포했다. 내재 변동성 곡선의 건설을 위해 이전에 채택 된 것과 같은 추론 따라서 우리는 포트폴리오가 동일한 베가, dvegadvol 및 dvegadspot을 주어진 파생 상품으로 갖도록 만기 T와 파업 및 K 3을 갖는 유럽 통화 포트폴리오를 구성 할 수있다. Black and Scholes 1973 모델 하에서의 가격에 대해, 이는 다음과 같이 가중치 xh 1, xh 2 및 xh 3을 찾음으로써 달성된다 : V BS 2 V BS 2 2 V BS S xhixhixhi C BS Ki 2 C BS 2 Ki 2 C BS SK 나는 법안 3에서 이미 증명 된 바와 같이 항상 고유하게 존재합니다. 1 그런 다음 우리는 파생 상품에 대해 새로운 미소 일관된 가격을 VV BS C i로 정의 할 수 있습니다. BS C i 17 9.10 법안 7 1 옵션 가격과 일치하는 청구 가격 C는 Black and Schol을 조정하여 얻은 청구액과 같습니다. 시장 가격을 사용할 때 헤지 포트폴리오의 비용 차이에 의한 가격 C i K K i i V V Proof 부록 참조이 명제는 유럽 스타일의 단순한 클레임에 대한 명확한 일관성 결과를 나타냅니다 사실 우리는 변동성이 평 균한 채권에 대한 헤지 포트폴리오를 계산하고, 블랙 앤 숄즈 모형을 사용하여 계산 된 채권 가격에 헤지 포트폴리오 시장 가격에서 일정한 변동성 가격을 뺀 값을 더하면, 시장 미소와 일치하는 콜 옵션 가격에 의해 암시 된 중립적 밀도이 유용한 결과는 다음 섹션에서 특정 옵션의 양자 옵션에 적용될 것입니다. 8 Quanto 옵션의 일관된 가격 결정의 예 Quanto 옵션은 파생 상품 만기가되면 T는 외화로 TX의 금액을 말합니다. 이는 s TXST에 해당하는 국내 통화로, 통화의 경우 1, 통화의 경우 1입니다. put 정적 복제에 대한 표준 논증은 양자 호출 및 가격을 일반 바닐라 호출 및 가격으로 다음과 같이 쓸 수 있음을 의미합니다. QCall T, X 2 X QPut T, X XP X 2 CK dk XC XXPK dk 18 여기서 PX 파업 X와 성숙 T의 가격을 매겨 놓았습니다. 즉, PXCXS e rf TX e rdt입니다. 실제 시장 데이터를 통해 Quanto 옵션 가격 18이 위험 회피에서 오는 가격 17과 같음을 확인합니다. 표 1과 표 2에보고 된 바와 같이 7 월 1 일, 25 일에 계산 된 결과가 표 3에 나와 있습니다. 헤지 인수를 사용하여 계산 된 옵션 옵션 가격 (수식 17)과 5를 사용하여 얻은 정적 복제 가격 18 3 단계와 15 및 25의 일정한 스트라이크 단계 7 이러한 가격 간의 비율 차이도 표시됩니다. 18 물론 18에서의 적분은 더 효율적인 절차로 계산 될 수 있습니다. 그러나 여기서는 상사의 정확성 cing 절차 1.11 만기 USD 할인 요인 EUR 할인 계수 3m 3 1 y 3 7 표 1 25 일 7 월 1 일 현재의 시장 데이터 델타 3M 1Y 25 ATM 25 통화 표 2 7 월 현재 3 대 델타에 해당하는 파업 및 변동성 1, 25이 예제의 목적은 또한 Quanto 옵션 가격이 유럽의 3 가지 옵션 만 사용하여 파생 될 수 있음을 보여 주며, 18 9에 의해 암시 된 바와 같이 파업의 연속이 아닙니다. 9 가격 결정 절차의 견고성 우리는 경험적 가격 책정 절차를 역동적으로 동기 부여하여 논문 결론 BS 가격의 부분 파생 상품을 두 번째 주문까지 제로로 만드는 임의적 접근법은 BS 모델이 여전히 옵션 도서의 평가에서 벤치 마크라는 사실에 의해 정당화 될 수 있습니다 이 사실에 대한 몇 가지 이유가있다. 명백한 역사적인 것은 제외하고 구현의 용이성 ii 모델 매개 변수의 명확하고 직관적 인 의미 iii 쉽게 이용할 수있는 민감도 및 iv 가능성 대부분의 보수를위한 명시적인 공식 다른 어떤 모델도이 모든 기능을 동시에 보유하지는 않습니다. 8 실제로 ATM 가변성이 있지만 플랫 스마일 BS 모델에 따라 FX 옵션 북을 재평가하고 헤징함으로써 FX 옵션 북을 실행하는 것은 이상한 관행은 아닙니다 우리는 이제 유럽 옵션들이 모두 ATM의 변동성을 말하는 동일한 확률 론적 변동성으로 평가된다면 헤지 포트폴리오의 가치 변화가 주어진 통화의 가치 변화를 국지적으로 추적한다는 것을 증명합니다. 우리는 일반적인 시간 t를 고려하고 변동성에 대한 Ito-like 동역학을 가정합니다. 따라서 우리는 Ito leuma에 의해 dc BS t KC BS t K dt C BS t K ds t C BS t K dtt SC BS t K ds 2 가능한 예외는 Brigo, Mercurio 및 Rapisarda의 불확 실한 매개 변수 모델이다. 9 계속적으로 일반적으로 매일 또는 약간 더 빈번한 갱신을 의미한다. 11.12 Strike Expiry 3M 1Y 3M 1Y 3M 1Y 헤지딩 인수 콜백 정적 복제본 넣기 이온 5 단계 Call Pct Diff Put Pct Diff 정적 복제 3 단계 Call Pct Diff Put Pct Diff 표 3 식 17 및 18을 통해 얻은 quanto 옵션 가격의 비교 또한 ahedhed 위치를 가정하고 파업 Ki는 초기 시간, 우리는 즉시 직류를 얻는다. BS t KC BS t K xit K dc BS k K BS t K 1 2 C BS t K 2 S 2 C BS t K 2 2 2 C BS t KS xit KC BS t K i dt KC BS t K K 2 2 1 2 3 2 K 2 BS K 2 2 K 2 BS BS 2 K 2 2 1 2 3 4 5 6 7 6 7 8 9 10 11 12 11 12 11 12 11 12 11 12 11 12 11 12 11 12 11 12 11 12 11 12 11 12 11 12 13 14 2의 가중치는 가중치 xi의 정의에 따라 제로가되는 반면, 세 번째 것은 BS 세계의 선택 사항 감마와 베가 옵션과의 관계로 인해 0입니다. 같은 이유로, 각 옵션이 지정되어 있음을 상기하면서, 또한 우리는 2 12.13 그 C BS t K t d dc BS t K xit KC BS t K itrd C BS t K xit K dc BS t K ir BS d K t KC BS BS K i 21 x KC BS t K i dt 22 이 방정식의 RHS는 시간에 알려졌다. 따라서 스트라이크 K와의 호출에서 긴 위치로 만들어진 포트폴리오와 스트라이크 K i와의 xit K 콜에서 3 개의 짧은 위치는 확률 론적 용어가 그 차동에 관여하지 않는다는 점에서 시간 t에서 국지적으로 위험하지 않다. 잘 알려진 바와 같이, BS 패러다임의 경우 파업 K 및 단기 C BS S의 주식은 기본 위험 자산 포트폴리오를 보유하는 것과 동일합니다. 변동성이 확률 적이며 옵션이 아직 BS 공식으로 평가되는 경우, 우리가 3 가지 옵션 중 적절한 양을 보유한다면 완벽한 헤지, 확률 적 변동성으로 인한 불확실성을 배제하기 위해 왜 3 가지 옵션이 필요한지 궁금해 할 수 있습니다. 이유는 두 가지입니다. 첫째, 일관된 모델을 사용하지 않고 단순한 평가 절차입니다. 실제로 2 차원 확산 확률 적 변동성 모델은 모든 만기에 대해 평면 미소를 생성 할 수 없습니다 둘째, 펀더멘털의 변동성과 변동성에 대한 구체적인 역학을 가정하는 것이 아니라 일반적인 확산만을 가정합니다. 실제로 헤지 전략은 실제 자산과 변동성에 관계없이 파생되기 때문에 모델 리스크를 배제하기 위해서는 세 가지 옵션이 필요합니다 역학 점프 없음 가정하에 결론 1 우리는 외환 시장에서 내재 변동성 곡선을 구축하기위한 시장 경험적 절차를 설명했다. 미소 구조가 유럽 스타일의 조건부 청구에 대한 가격 결정 공식으로 이어지는 것을 보았다. 정적 복제 및 헤지 옵션을 기반으로합니다. 미소 짓기 절차 및 관련 가격 결정 공식은 다소 일반적입니다. 사실 FX 옵션을 위해 개발되었지만 특정 성숙도에 대해 3 가지 변동성 지수를 사용할 수있는 모든 시장에 적용 할 수 있습니다 마지막으로 미해결 문제는 경험적 절차 w의 일반화를 통한 이국적 선택의 가치 평가와 관련이있다. 이 논문에 예시되어있다. 이것은 일반적으로 현재의 묵시적 변동성이 한계 밀도에 대한 정보 만 포함하고 있음을 고려하면 처리해야 할 상당히 복잡한 문제이다. 물론 경로 의존적 파생 상품을 평가하기에는 충분하지 않다. ad-hoc 절차가 일반적으로 사용된다. 13.14 예를 들어, 장벽 옵션 가격은 복제 전략의 비용 차이를 만기 전에 장벽을 넘지 않는 위험 중립 확률로 계량함으로써 얻을 수있다. 그러나 그러한 조정은 이론적으로 정당화하기가 어렵지 않을뿐만 아니라 평범한 바닐라의 경우에는 그렇지만 실용적인 관점에서 볼 때 시장 가격에 내포 된 것과 반대의 부호를 가질 수도있다. 부록 A 증명 증명 3 증명 1 증명 x 1 t KA x 2 t KB, x 3 t K 직선 대수가 다음과 같이 나타납니다. V t V t V t K 3 S 2 d 2 t K 3 d 1 td 2 td 2 td 1 t K 3 d 2 t K 3 T d 1 td 2 td 2 t K 3 d 1 t K 3 d 2 t K 3 d 2 td 2 td 1 td 2 td 1 td 2 td 2 t V t V t V t K 3 S 5 T 2 ln 23 이는 K 3 이후 엄밀히 긍정적이다. 따라서 9는 유일한 해를 인정하고 11은 다음과 같다. Cramer 's rule Proposition of Proposition 5 1 첫 번째 주문에서, 하나는 CKC BS K xi KVK iki를 가지며 11을 기억하고 3 xikvki VK가 CKC BS KVK yi KK i로 연결된다는 사실을 기억합니다. 여기서 y 1 K ln KK ln y 2 K ln KK ln y 3 K ln K ln K 14.15 그러면 1 차 테일러 확장에서 13이 나온다. CKC BS KVKK 명제 5의 증명 2 2 차 순서에서, 하나는 CKC BS K를 유사하게 가지고 xi 이 대수적 2 차 방정식을 k로 풀면 14의 증명 6에 이어진다. 1 등식 16은 다음과 같은 경우에만 성립합니다. xj KHCHH j C BS H jj 1 xi KKCK i C BS K i 15를 사용하고 용어를 재정렬하면 왼쪽은 xj KHCHH j C BS H jj 1 xj K H Ki K i K K K K i K i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j i j j i j i j j i 지루하고도 간단하지만 가중치에 대한 공식 11을 적용한 결과 15.16 Proposition of Proposition 7의 증명 1 각 연산자 L에 대해 LV BS L e rdt h S e rf T hh KC BS K 여기서, 가중치의 정의에 의해 LV BS가된다. BS k K BS BS BS BS BS BS BS BS BS BS BS BS BS BS BS BS BS BS BS BS BS BS BS BS BS BS BS BS BS BS 가중치의 xhi 따라서 우리는 xhi를가집니다 17로 대체, 우리는 VV BS V BS V BS H K h K xi K dk, 1, 2, 3 h K xi K dk CK C i K K i K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K K 부록 B 묵시적 위험 중립적 밀도 VV 가격 12는 기초 자산의 분배에 대한 특정 가정을 도입하지 않고 정의된다. 그러나 모든 가능한 파업에 대한 옵션 가격에 대한 지식은 암묵적으로 ~을 결정하다 16.17 8 7 Vanna Volga BS 그림 4 Breanna and Litzenberger 1978의 일반적인 결과에 의해 ATM 변동성이있는 BS 모델에서 나온 로그 정규식과 비교 한 Vanna-Volga 위험 중립 밀도 환율 ST의 위험 중립 밀도 P T는 옵션 가격의 두 배를 차감함으로써 얻을 수있다. (식 2) (식 2) 식 (2) RHS의 첫 번째 항은 드리프트 속도 rdrf 및 변동성을 갖는 기하학적 브라운 운동과 연관된 로그 정규 밀도 p BS T이다. VV 미소에 의해 유발 된 로그 노말 리티 (lognormality)로부터의 편차 인 제 2 항은 더 복잡하고, 2 배의 가중치 11 우리는 2 x 1 KK 2 2 x 3 KK 2 VK 2 TV ln 2 T d 1 K ln K 3 VK 2 TVK 3 2 T d 1 K ln d1 K 2 T d 1 K 1 ln 2 T ln K 2K K 2 d 1 K 2 T d 1 K 1 ln 2 K 1K KKK ln 12와 연관된 위험 중립 밀도의 KA 플롯은 그림 4, 여기서 그것은 대응하는 대수 정규 밀도와 비교된다. BS T 17.18 참고 문헌 1 Black, F and Scholes, M 1973 옵션 및 기업 부채의 가격 결정 정치 경제 저널 81, 2 Breeden, DT and Litzenberger, RH 1978 주 가격 - 옵션 가격에 함축 된 옳은 주장 - Journal of Business 51, 3 Brigo, D Mercurio, F and Rapisarda, F 24 불확실성 위험에서의 웃음 17 5, 4 Carr, PP and Madan, DB 1998 가변성 거래 이론 RA Jarrow Risk Books 5 Lee, RW 24 극단적 인 파업에서의 묵시적인 변동성에 대한 순간 공식 수학적 재정 14 3. 외환 옵션의 일관된 가격 책정 현재의 시장에서 파업이나 만기가 다른 옵션은 보통 내재 변동성이 다른 가격으로 책정됩니다. 는 보통 이펙트라고도 불리우는 이국적인 파생 상품의 가격 책정 또는 인용되지 않은 파업에 대한 묵시적 변동성의 특정 모델에 의거하여 수용 될 수 있습니다. 성숙도 전 태스크는 일반적으로 기초 자산 가격에 대한 대안 역학을 도입함으로써 성취되지만, 후자는 종종 통계적 조정이나 보간법을 통해 해결됩니다. 이 기사에서는 후자의 문제를 다루고 외환에서 가능한 솔루션을 분석합니다 외환 옵션 시장 이러한 시장에서 사실 0Delta 스 트래들, 리스크 반전 및 베가 웨이팅 나비의 각 시장 성숙도에 대한 3 가지 활성 지수 만 있으므로 다른 내재 변동성의 일관된 결정 문제를 우리에게 제시합니다. FX 중개인 및 시장 제작자는 일반적으로 특정 성숙도에 대한 전체 미소를 구성하기위한 경험적 절차를 사용하여이 문제를 해결합니다. 5Delta에서 5Delta로 전화하는 범위에 대해 변동성 지수는 옵션 델타의 관점에서 제공됩니다. 다음으로, 우리는 주어진 통화에 대해이 시장 절차를 검토 할 것입니다. 특히, 우리는 건설을 위해 폐쇄 형식의 공식을 도출 할 것입니다 더 명시 적으로 우리는 파생 된 미소에 대한 정적 인 견지에서 견고성을 테스트 할 것이다. 파업과 변동성의 세 초기 쌍이 일관되게 동일한 내재 변동성 곡선을 생성한다는 점에서 우리는 Europeanstyle 주장에 적용되는 동일한 절차가 일관성이 있음을 보여줄 것이다 정적 복제 결과와 예를 들어, 유럽의 양자 옵션의 실용적인 사례를 검토합니다. 마침내 시장 절차가 역동적 인 용어로 정당화 될 수 있음을 증명합니다. 지역 복제 및 자체 자금 조달 방식의 헤지 전략을 정의합니다. 키워드 FX 옵션, 웃음, 일관된 가격 결정, 확률 론적 변동성. JEL 분류 G13. 인용 인용 제안. Castagna, Antonio 및 Mercurio, Fabio, SSRN 또는 Iason Ltd 이메일에서 사용할 수있는 FX 옵션의 일관된 가격 결정. FX 옵션의 일관된 가격 결정. In 현재 시장, 파업이나 만기가 다른 옵션은 일반적으로 서로 다른 내재 변동성으로 가격이 책정됩니다. 은 보통 이펙트라고도 불리는 이펙트는 외래 파생 상품의 가격 결정 또는 비공개 파업이나 만기의 암시 된 변동성에 대한 특정 모델에 의지하여 조정할 수 있습니다. 이전 작업은 일반적으로 기본 자산 가격, 후자는 종종 통계적 조정이나 보간법을 통해 해결됩니다. 이 기사에서는이 후자 문제를 다루고 외환 FX 옵션 시장에서 가능한 해결책을 분석합니다. 그러한 시장에서 실제로는 세 가지 활성 인용 부호가 있습니다 리스크 반전 및 베가 가중 나비에 대한 시장 성숙도를 측정하여 다른 내재 변동성의 일관된 결정 문제를 제시합니다. FX 중개인 및 시장 결정자는 일반적으로 경험적 절차를 사용하여이 문제를 해결합니다 주어진 성숙도에 대한 전체 미소 변수 휘발성 지수는 옵션 s 델타의 관점에서 제공됩니다. r anges from the 5Delta put to the 5Delta call. In the following, we will review this market procedure for a given currency In particular, we will derive closed-form formulas so as to render its construction more explicit We will then test the robustness in a static sense of the resulting smile, in that changing consistently the three initial pairs of strike and volatility produces eventually the same implied volatility curve We will also show that the same procedure applied to Europeanstyle claims is consistent with static-replication results and consider, as an example, the practical case of a quanto European option We will finally prove that the market procedure can also be justified in dynamical terms, by defining a hedging strategy that is locally replicating and self-financing. Keywords FX option, smile, consisten pricing, stochastic volatility. JEL Classification G13.Suggested Citation Suggested Citation. Castagna, Antonio and Mercurio, Fabio, Consistent Pricing of FX Options Availabl e at SSRN or. Iason Ltd email.